2021山東大學(xué)681數(shù)學(xué)（單）研究生考試大綱 正文

681數(shù)學(xué)（單）
 
Ⅰ．考試科目
一元微積分、線性代數(shù)、概率論。
 
Ⅱ．考試目的
考察考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法，數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力及運(yùn)用所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
 
Ⅲ．考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
一、試卷滿分及考試時(shí)間
試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷題型與結(jié)構(gòu)
1.選擇題：共20題，每題5分。
2.計(jì)算題：8選5，每題10分。
3.試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)：
一元微積分　約70分。
線性代數(shù)　約50分。
概率論  約30分。
 
Ⅳ．考查內(nèi)容
一、一元微積分
（一）函數(shù)、極限、連續(xù)
考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法  函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)  基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形  初等函數(shù)  函數(shù)關(guān)系的建立。
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)  函數(shù)的左極限和右極限  無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系  無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較  極限的四則運(yùn)算  極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則  兩個(gè)重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念  函數(shù)間斷點(diǎn)的類型  初等函數(shù)的連續(xù)性  閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
考試要求
1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。
2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。
5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念。
6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
7．理解無(wú)窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無(wú)窮小量的比較方法．了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。
8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
（二）一元函數(shù)微分學(xué)
考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)和微分的概念  導(dǎo)數(shù)的幾何意義  函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系　 平面曲線的切線與法線  導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函數(shù)的微分法  高階導(dǎo)數(shù) 　一階微分形式的不變性  微分中值定理  洛必達(dá)（L'Hospital）法則  函數(shù)單調(diào)性的判別  函數(shù)的極值  函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線   函數(shù)圖形的描繪  函數(shù)的最大值與最小值。
考試要求
1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念），會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程。
2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
4．了解微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。
5．理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy)中值定理，掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。
6．會(huì)用洛必達(dá)法則求極限。
7．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。
8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內(nèi)，設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)．當(dāng)時(shí)，的圖形是凹的；當(dāng)時(shí)，的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)和漸近線。
9．會(huì)描述簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。
（三）一元函數(shù)積分學(xué)
考試內(nèi)容
原函數(shù)和不定積分的概念  不定積分的基本性質(zhì)  基本積分公式  定積分的概念和基本性質(zhì)  定積分中值定理  積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)  牛頓-萊布尼茨（Newton- Leibniz）公式  不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法  反常（廣義）積分  定積分的應(yīng)用。
考試要求
1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不定積分的換元積分法與分部積分法。
2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法。
3．會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值。
二、線性代數(shù)
（一）行列式
考試內(nèi)容
行列式的概念和基本性質(zhì)　行列式按行（列）展開定理。
考試要求
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。
2.會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式。
（二）矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念　矩陣的線性運(yùn)算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉(zhuǎn)置　逆矩陣的概念和性質(zhì)　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價(jià)分塊矩陣及其運(yùn)算。
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)。
2．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)。
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法。
5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則。
（三）向量
考試內(nèi)容
向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)　向量組的極大線性無(wú)關(guān)組  等價(jià)向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系  向量的內(nèi)積  線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法。
考試要求
1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則。
2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念，掌握向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。
3．理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩。
4．理解向量組等價(jià)的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關(guān)系。
5．了解內(nèi)積的概念．了解線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法。
（四）線性方程組
考試內(nèi)容  
線性方程組的克拉默（Cramer）法則　線性方程組有解和無(wú)解的判定　齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解  非齊次線性方程組的解與相應(yīng)的齊次線性方程組（導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系　非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會(huì)用克拉默法則解線性方程組。
2.掌握非齊次線性方程組有解和無(wú)解的判定方法。
3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
（五）矩陣的特征值和特征向量
考試內(nèi)容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)　相似矩陣的概念及性質(zhì)　矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣　實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量及相似對(duì)角矩陣。
考試要求
1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法。
2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法。
3.掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。
三、概率論
（一）隨機(jī)事件和概率
考試內(nèi)容
隨機(jī)事件與樣本空間　事件的關(guān)系與運(yùn)算　完備事件組　概率的概念　概率的基本性質(zhì)　古典型概率　幾何型概率　條件概率　概率的基本公式　事件的獨(dú)立性　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。
考試要求
1．了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算。
2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Bayes）公式等。
3．理解事件的獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法。
（二）隨機(jī)變量及其分布
考試內(nèi)容
隨機(jī)變量　隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)　離散型隨機(jī)變量的概率分布　連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度  常見隨機(jī)變量的分布  隨機(jī)變量函數(shù)的分布。
考試要求
1．理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)
（）
的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。
2．理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。
3．掌握泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布。
4．理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布的概率密度為

會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。
（三）隨機(jī)變量的數(shù)字特征
考試內(nèi)容
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)  隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望  切比雪夫（Chebyshev）不等式  切比雪夫大數(shù)定律。
考試要求
1．理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的概念，會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征。
2．會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
3．了解切比雪夫不等式和切比雪夫大數(shù)定律。

山東大學(xué)

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