2022年西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生考試科目《高等代數(shù)》考試大綱及參考書目 正文

一、考核要求
高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，對數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，它的思想和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。高等代數(shù)的全部內(nèi)容分兩大部分，多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)理論。其中線性代數(shù)理論顯得十分重要，不僅在自然科學(xué)的各分支有著重要應(yīng)用，而且在社會科學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。高等代數(shù)課程的考核，以其基本理論和方法為主，考核學(xué)生對從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法的掌握情況，考核學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，考核學(xué)生是否具有嚴(yán)密的邏輯推理能力， 考核學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決某些實(shí)際問題的能力。

二、考核評價(jià)目標(biāo)
高等代數(shù)課程重點(diǎn)考核學(xué)生對理論基礎(chǔ)知識掌握的情況及分析解決某些實(shí)際問題能力。通過考核，選拔出具有較好的數(shù)學(xué)功底的學(xué)生來攻讀數(shù)學(xué)學(xué)科的碩士研究生?？己嗽u價(jià)目標(biāo)應(yīng)使錄取的研究生具有較扎實(shí)與系統(tǒng)的從事數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)及科研工作所需的高等代數(shù)知識。

三、考核內(nèi)容
第一章  基本概念
第一節(jié)  集合與映射
主要考核單射、滿射、雙射及的概念及可逆映射的基本性質(zhì)。
第二節(jié)  數(shù)學(xué)歸納法
主要考核第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法原理。
第三節(jié)  整數(shù)的整除性質(zhì)
主要考核帶余除法、素?cái)?shù)、合數(shù)、最大公因數(shù)等概念及性質(zhì)。
第四節(jié)  數(shù)環(huán)與數(shù)域
主要考核數(shù)環(huán)、數(shù)域這兩個(gè)基本概念及二者之間的關(guān)系
第二章  多項(xiàng)式
第一節(jié)  一元多項(xiàng)式的定義及運(yùn)算
考核多項(xiàng)式的加法、減法與乘法運(yùn)算，給出多項(xiàng)式次數(shù)的定義，零次多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式。
第二節(jié)  多項(xiàng)式的整除性
考核帶余除法定理，它是多項(xiàng)式理論的核心內(nèi)容。
第三節(jié)  最大公因式
考核最大公因式的概念、求法，特別是輾轉(zhuǎn)相除法，另外考核多項(xiàng)式互素的概念和判斷互素的充分必要條件。
第四節(jié)  多項(xiàng)式的分解
考核多項(xiàng)式因式分解的思想。
第五節(jié)  重因式
考核多項(xiàng)式重因式的概念、有無重因式的充分必要條件。
第六節(jié)  多項(xiàng)式函數(shù)  多項(xiàng)式的根
考核多項(xiàng)式的函數(shù)的觀點(diǎn)與形式觀點(diǎn)統(tǒng)一的思想。
第七節(jié)  復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式
考核系數(shù)在復(fù)數(shù)域上和系數(shù)在實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式的特點(diǎn)，考核復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式只有一次的是不可約的，而實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式只有一次的和某些二次的是不可約的。
第八節(jié)  有理系數(shù)多項(xiàng)式
考核有理系數(shù)多項(xiàng)式的概念，指出有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的分解與在整數(shù)集合上的分解是一回事，給出有理系數(shù)多項(xiàng)式根的求法和判別有理根的艾森斯坦因方法。

第三章  行列式
第一節(jié)  線性方程組與行列式
考核2×2線性方程組與二階行列式的關(guān)系，3×3線性方程組與三階行列式的關(guān)系， n×n線性方程組與n階行列式是什么關(guān)系。
第二節(jié)  排列
考核排列概念及基本性質(zhì)，其中包括偶排列、奇排列、反序數(shù)、n!個(gè)排列中奇排列、偶排列各占一半。
第三節(jié)  n階行列式
考核n階行列式的定義，性質(zhì)。
第四節(jié)  子式和代數(shù)余子式
考核按行按列展開的計(jì)算方法。
第五節(jié)  克拉默規(guī)則
考核克拉默規(guī)則，

第四章  線性方程組
第一節(jié)  線性方程組的消元解法
考核線性方程組的高斯消元法、線性方程線的同解變形、線性方程組的消元法與它的增廣矩陣行初等變換的一致性。
第二節(jié)  矩陣的秩、方程組有解判別定理
考核矩陣的秩、初等變換不改變矩陣的秩、線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等。
第三節(jié)  線性方程組的公式解
考核n×n 線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí)，如何用克拉默規(guī)則解該方程組，進(jìn)一步討論一般的n×m(n≠m)線性方程組的公式解法。
第四節(jié)  結(jié)式和判別式
考核二元二次方程組的解法。

第五章  矩陣
第一節(jié)  矩陣的運(yùn)算
考核矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法。
第二節(jié)  可逆矩陣、矩陣乘積的行列式
考核n階矩陣的逆矩陣、n階矩陣的行列式、矩陣乘積的行列式與各自行列式的關(guān)系、n階方陣可逆時(shí)逆矩陣的求法。
第三節(jié)  矩陣的分塊
考核矩陣的分塊理論，也就是把矩陣中一部分元素看作一個(gè)塊（或一個(gè)元素）來處理矩陣的有關(guān)問題。


第六章  向量空間
第一節(jié)  定義及例子
考核向量空間的定義的理解。
第二節(jié)  子空間
考核向量空間的子空間、交子空間，和子空間及子空間的判定定理。
第三節(jié)  向量的線性相關(guān)性
考核向量的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、極大線性無關(guān)組、向量組的等價(jià)、向量組的秩。
第四節(jié)  基和維數(shù)
考核向量空間的基、維數(shù)、向量空間的維數(shù)公式、余子空間。
第五節(jié)  坐標(biāo)
考核向量由基的表示式、坐標(biāo)、過渡矩陣、坐標(biāo)變換公式。
第六節(jié)  向量空間的同構(gòu)
考核向量空間之間的映射、向量空間的同構(gòu)。
第七節(jié)  齊次線性方程組的解空間
考核矩陣的行空間、列空間、行空間的秩與矩陣的秩、齊次線性方程的解空間、基礎(chǔ)解系、解空間的結(jié)構(gòu)。

第七章  線性變換
第一節(jié)  線性映射
考核兩個(gè)向量空間的線性映射、映射的象與核。
第二節(jié)  線性變換的運(yùn)算
考核向量空間到自身的線性變換、線性變換的和變換、數(shù)乘線性變換、線性變換的乘積、線性變換的逆線性變換。
第三節(jié)  線性變換的矩陣
考核線性變換在一個(gè)基下的矩陣、矩陣確定的線性變換、線性變換的運(yùn)算與相應(yīng)的矩陣運(yùn)算、同一個(gè)線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系。
第四節(jié)  不變子空間
考核線性變換下子空間的不變性、象不變子空間、核不變子空間、不變子空間與線性變換的對角化。
第五節(jié)  本征值與本征向量
考核矩陣的特征值、特征向量、線性變換的本征值與本征向量、特征子空間。
第六節(jié)  可以對角化的矩陣
考核一個(gè)線性變換可以對角化的充分必要條件。

第八章  歐氏空間
第一節(jié)  向量的內(nèi)積
考核實(shí)數(shù)域上向量空間的內(nèi)積、歐氏空間、向量的長度、夾角、哥西一許瓦茲不等式。
第二節(jié)  正交基
考核向量的正交性、正交向量組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基、度量矩陣、施密特正交化方法、正交矩陣。
第三節(jié)  正交變換
考核保持向量長度不變的正交變換、正交矩陣的性質(zhì)、正交變換的四個(gè)等價(jià)條件。
第四節(jié)  對稱變換和對稱矩陣
考核對稱變換、對稱矩陣、對稱變換的對角化問題、實(shí)對稱矩陣的特征值問題。

第九章  二次型
第一節(jié)  二次型和對稱矩陣
考核n元二次多項(xiàng)式總可以用一個(gè)對稱矩陣來表示，從而通過矩陣的乘法轉(zhuǎn)化了二次型的表達(dá)形式，這樣把一個(gè)二次型（既一個(gè)多項(xiàng)式的問題）用對稱矩陣及矩陣的合同變換（成對的行、列初等變換）來處理。從而使問題簡單明了。
第二節(jié)  復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型
考核復(fù)系數(shù)二次型與實(shí)系數(shù)二次型的典范形式。
第三節(jié)  正定二次型
考核了實(shí)數(shù)域上秩為n的二次型的特征。
第四節(jié)  主軸問題
考核通過正交變換化二次型為平方和形式的方法。

[1] 張禾瑞, 郝鈵新. 高等代數(shù). 北京: 高等教育出版社, 2007年第5版.
[2] 王萼芳, 石生明.  高等代數(shù). 北京: 高等教育出版社, 2003年第3版.
[3] 劉仲奎,  楊永保, 程輝, 陳祥恩, 汪小琳.  高等代數(shù).  北京: 高等教育出版社, 2003年.
[4] 陳祥恩, 程輝, 喬虎生，劉仲奎.  高等代數(shù)專題選講.  北京: 中國科學(xué)技術(shù)出版社, 2013年.

西北師范大學(xué)

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