2022年西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院同等學(xué)力加試科目《實(shí)變函數(shù)》考試大綱及參考書目 正文

一、考核概要
實(shí)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的專業(yè)課之一。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握實(shí)變函數(shù)的基本理論、基本知識(shí)與基本方法，為以后進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)其它學(xué)科打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本課程的具體要求有：掌握集合論的基本理論；初步掌握和了解測(cè)度論的基本知識(shí)；熟練掌握可測(cè)函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)，初步掌握lebesgue 積分的理論和方法。
本課程的要求：要求學(xué)生能熟練地掌握對(duì)等和基數(shù)的概念，可數(shù)集的定義和性質(zhì)，n維歐氏空間中聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的定義，開集、閉集、完備集的概念和性質(zhì)。初步理解和掌握可測(cè)集和不可測(cè)集的刻化和基本性質(zhì)。熟練掌握可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)，幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的關(guān)系和基本的推導(dǎo)方法。初步掌握lebesgue 積分的的性質(zhì)，能用有關(guān)定理極其它與Riemann積分的關(guān)系去處理一些簡(jiǎn)單的問題。

二、考核要點(diǎn)及要求
第一章 集合
1、知識(shí)點(diǎn)
集合的概念和運(yùn)算，對(duì)等與基數(shù)，可數(shù)集合，不可數(shù)集合，半序集和曹恩引理
2、考核要求
   1）掌握集合交，并、余等運(yùn)算和上、下極限的定義和基本運(yùn)算；
   2）熟練掌握集合的對(duì)等的定義與性質(zhì)；能熟練應(yīng)用伯恩斯坦（Bernstein）定理證明集合的對(duì)等關(guān)系；
3）理解基數(shù)的定義；掌握可數(shù)集與不可數(shù)集的性質(zhì)，會(huì)判斷給定的集合是否可數(shù)。

第二章 點(diǎn)集
1、知識(shí)點(diǎn)
度量空間（n維歐氏空間），聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)，開集、閉集、完備集極其構(gòu)造
2、考核要求
1）理解和掌握度量空間的定義，鄰域的性質(zhì)，有界點(diǎn)集的定義和n維區(qū)間的體積；
2）熟練掌握n維區(qū)間點(diǎn)的關(guān)系，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的定義聚點(diǎn)與等價(jià)條件；
3）掌握開核、邊界和導(dǎo)集的概念和性質(zhì)極其相互關(guān)系；
4）理解和掌握開集、閉集和完備集的性質(zhì)；
5）理解開集的構(gòu)成區(qū)間與余區(qū)間，了解開集、閉集的構(gòu)造；熟練掌握康托爾集的構(gòu)成和性質(zhì)。
第三章測(cè)度論
1、知識(shí)點(diǎn)
    約當(dāng)測(cè)度，Lebesgue 外測(cè)度和內(nèi)測(cè)度，可測(cè)集
2、考核要求
1）測(cè)度的定義和性質(zhì)；
2）掌握Lebesgue 外測(cè)度和內(nèi)測(cè)度的定義和基本性質(zhì)；
3）練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測(cè)集的定義及可測(cè)集的基本運(yùn)算性質(zhì)。
4）掌握零測(cè)集的性質(zhì)；開集、閉集的可測(cè)性；
5）約當(dāng)測(cè)度與Lebesgue測(cè)度的關(guān)系；
6）解特殊的兩類集合，波雷耳集。
   第四章 可測(cè)函數(shù)
1、知識(shí)點(diǎn)
可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，依測(cè)度收斂
2、考核要求
1）熟練掌握可測(cè)函數(shù)及其四則運(yùn)算，可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系，幾乎處處成立的概念；
     2）理解葉果洛夫定理；
3）理解并掌握魯津定理及其逆定理；
     4）熟練掌握依測(cè)度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂的幾個(gè)反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理
第五章 積分論
1、知識(shí)點(diǎn)
Riemann積分，勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理
2、考核要求
1）了解由確界式定義的Riemann積分，及Riemann積分的缺陷；
     2）理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個(gè)充要條件；可積的四則運(yùn)算，勒貝格積分與Riemann積分的關(guān)系；
3）熟練掌握勒貝格積分的基本性質(zhì)和絕對(duì)連續(xù)性 ；
     4）熟練掌握一般可積函數(shù)的L積分的定義和初等性質(zhì)。
     5）牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項(xiàng)積分定理，積分的可數(shù)可加性，F(xiàn)atou引理及有關(guān)積分與求導(dǎo)交換的定理。

三、參考書目
1.《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》，程其襄，張奠宙，胡善文等編， 第3版，高等教育出版社，2010.6.
2.《實(shí)變函數(shù)論》,周民強(qiáng) 編著，北京大學(xué)出版社，2001.7

西北師范大學(xué)

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