南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

    考試大綱

    科目代碼：F02

    科目名稱：數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)綜合

    第一部分目標與基本要求

    一、目標

    “數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)綜合”課程包括常微分方程和數(shù)值分析兩部分，這兩部分是基礎(chǔ)數(shù)學、計算數(shù)學、應用數(shù)學和統(tǒng)計學的重要基礎(chǔ)課程。通過這兩門課程的學習，學生能系統(tǒng)地掌握有關(guān)常微分方程的基本理論和求解常微分方程的各種方法，數(shù)值分析的基本理論、方法，各種經(jīng)典算法及其應用，并為后繼的各數(shù)學分支的深入研究打下堅實的基礎(chǔ)。

    二、基本要求

    “數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)綜合”課程考試的主要內(nèi)容為常微分方程的基本理論及各類常微分方程的求解方法、數(shù)值分析的的基本理論、方法，(非)線性方程組的數(shù)值方法、數(shù)值微分與數(shù)值積分及特征值的數(shù)值方法等。同時要求考生了解常微分方程的穩(wěn)定性理論、掌握矩陣分析基礎(chǔ)，熟悉各種算法的優(yōu)劣，熟悉各種算法及其應用。

    第二部分內(nèi)容與考核目標

    一、常微分方程部分：

    1、初等積分法

    (1)了解常微分方程產(chǎn)生的背景，它與數(shù)學分析和高等代數(shù)課程之間的關(guān)系，了解線性

    方程和非線性方程的判別；

    (2)了解變量分量分離方程、齊次方程相關(guān)概念；

    (3)了解一階線性方程的相關(guān)定義,如齊次方程、非齊次方程、齊次項和非齊次項等，了

    解Bernoulli方程的概念；

    (4)了解全微分方程、積分因子的概念；

    (5)了解一階隱式方程的定義,一階隱式方程的四種類型,高階方程的定義;

    (6)理解常微分方程相關(guān)概念：常微分方程，解、特解與通解，初始條件，積分曲線等

    (7)理解初等積分法的內(nèi)涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分

    離方程

    (8)理解Bernoulli方程的解法，一階線性方程初始問題的求解公式；

    (9)理解全微分方程求解思想，即利用二元函數(shù)微分理論，求二元函數(shù)微分的原函數(shù)；

    積分因子的不唯一性；

    (10)理解一階隱式方程與顯示方程的不同之處,一階隱式方程的求解難點,高階方程的

    求解難點;

    (11)掌握變量分離方程的解法；

    (12)掌握一階線性齊次方程的解法，常數(shù)變易法，一階線性非齊次方程的解法；

    (13)掌握全微分方程的解法，全微分方程的判斷，特殊積分因子的求法；

    (14)掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法,高階方程的降階法(不顯含自變量的高階

    方程,恰當導數(shù)方程)。

    2、基本定理

    (1)了解解的存在與唯一性定理的條件和結(jié)論，解的存在區(qū)間，Picard逐步逼近法等概

    念；

    (2)了解局部Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足局部Lipschitz條件的驗證，局部

    Lipschitz條件在解的延展過程中的作用，解對初值的連續(xù)依賴性和可微性；

    (3)理解Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足Lipschitz條件的驗證；Lipschitz條件在

    存在唯一性定理證明中的作用；

    (4)理解飽和解、最大存在區(qū)間的概念，解的延展過程，飽和解的存在區(qū)間與解的漸近

    的關(guān)系；

    (5)掌握解的存在與唯一性定理的證明，Picard解序列的構(gòu)造及收斂性的證明，利用

    Picard逐步逼近法求近似解。

    (6)掌握比較原理和解的延展定理及其證明，初值對解的存在區(qū)間的影響。

    3、一階線性微分方程組

    (1)了解線性微分方程組的有關(guān)概念(系數(shù)矩陣、向量值函數(shù)、方程組的初始問題)、方

    程組解的存在唯一性定理及證明思路；

    (2)了解常系數(shù)線性微分方程組的系數(shù)矩陣的特征方程、特征根、特征向量，特征根、

    特征向量與解的關(guān)系；

    (3)理解向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念，Wronsky行列式的概念，基本解組的

    概念，基本解的Wronsky行列式的性質(zhì)，Liouville公式；

    (4)理解利用系數(shù)矩陣的特征根、特征向量求常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的方

    法；

    (5)掌握線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，常數(shù)變易法；向

    量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)的判斷。

    (6)掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法。

    4、n階線性微分方程

    (1)了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，函數(shù)組線性相關(guān)、線性無關(guān)，函數(shù)組

    的Wronsky行列式等概念；

    (2)了解n階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的

    解；

    (3)了解非齊次項的概念，利用常數(shù)變易法求特解的方法；

    (4)了解質(zhì)點運動方程的物理意義，振動、無阻尼自由振動、阻尼自由振動、無阻尼強

    迫振動、阻尼強迫振動等概念；

    (5)了解Laplace變換及其在微分方程初值問題求解問題中的應用；

    (6)理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關(guān)系，即對任意一個n階線性微分

    方程，可將其化為一個n維線性方程組，且他們的解是等價的，基本解組，Liouville公式；

    (7)理解由復特征根如何確定微分方程解的方法；

    (8)理解比較系數(shù)法與常數(shù)變易法的差異；

    (9)理解微分方程的解與振動之間的聯(lián)系，共振概念；

    (10)理解冪級數(shù)解法大意；

    (11)掌握函數(shù)組線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明方法，n階（齊次、非齊次）線性微分方程

    的通解結(jié)構(gòu)定理的證明；

    (12)掌握n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法；

    (13)掌握第一類型、第二類型n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法；

    (14)掌握通過求二階常系數(shù)線性方程的通解探討力學問題中振動現(xiàn)象的方法，阻尼項

    和強迫項對振動的影響；

    (15)掌握的相關(guān)定理及其在微分方程初值問題求解問題中的應用。

    5、定性、穩(wěn)定性理論簡介

    (1)了解穩(wěn)定性相關(guān)概念

    (2)理解簡單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法，正定函數(shù)、負定函數(shù)的定義；

    (3)掌握李雅普諾夫函數(shù)的定義，通過構(gòu)造簡單的李雅普諾夫函數(shù)，利用相關(guān)定理，判

    斷零解的穩(wěn)定性。

    二、數(shù)值分析部分

    1、緒論

    (1)了解計算機算法的特性；

    (2)理解誤差的定性分析與避免誤差的危害、數(shù)值運算的誤差估計、算法的數(shù)值穩(wěn)定性；

    (3)掌握誤差的來源與分類、誤差與有效數(shù)字；

    2、矩陣分析基礎(chǔ)

    (1)建立線性空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間的概念；

    (2)掌握向量和矩陣的范數(shù)、向量和矩陣序列的極限；

    (3)掌握內(nèi)積空間中的正交系、矩陣的三角分解、正交分解、奇異值分解；

    (4)施密特(Schmidt)正交化過程、正交多項式；

    3、數(shù)值逼近

    (1)了解上述幾種常用插值法的優(yōu)缺點，并能夠根據(jù)實際問題選擇適當?shù)牟逯捣椒ㄟM行

    函數(shù)逼近；

    (2)了解三角多項式逼近及快速傅立葉變換；

    (3)理解插值法的基本原理；掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進行插值的方法；

    (4)理解函數(shù)逼近、有理逼近的概念；

    (5)掌握分段低次插值、樣條插值、埃爾米特插值及其插值余項和誤差估計方法；

    (6)掌握最佳平方逼近方法、曲線擬合的最小二乘法；對于給定的一組數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)

    最小二乘原理在某一函數(shù)類中選擇函數(shù)，與其所給數(shù)據(jù)組擬合來解決一些實際問題

    4、線性方程組的數(shù)值解法

    (1)了解研究求解線性方程組的數(shù)值方法分類及直接法的應用范圍；

    (2)了解極小化方法：最速下降法、共軛梯度法；

    (3)掌握線性方程組的直接解法——高斯主元消去法、LU三角分解法、平方根法、追

    趕法與三對角方程組的解法；

    (4)理解矩陣的譜半徑、矩陣的條件數(shù)等概念，并能利用條件數(shù)判別方程組是否病態(tài)以

    及對方程組的直接方法的誤差進行估計；

    (5)掌握線性方程組的經(jīng)典迭代方法——雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法及SOR

    方法的計算分量形式、矩陣形式以及迭代法的收斂性判定方法；

    (6)掌握線性方程組的Krylov子空間方法。

    5、非線性方程組求根

    (1)了解求解非線性方程和非線性方程組的常用數(shù)值方法；

    (2)理解迭代法的基本原理、迭代過程的收斂性及收斂速度；迭代過程的加速原理；

    (3)掌握求解非線性方程組的不動點迭代法、牛頓法及其收斂性；

    6、數(shù)值積分與數(shù)值微分

    (1)了解數(shù)值微分方法的基本思想；高斯-勒讓德等求積公式、多重積分、數(shù)值微分公

    式；

    (2)理解數(shù)值積分公式的一般形式及導出方法、理解自適應積分方法；比較牛頓-柯

    特斯求積公式與高斯求積公式的異同點；龍貝格算法；

    (3)掌握代數(shù)精度的概念、插值型的求積公式、幾種低階求積公式及余項使用

    7、矩陣特征值問題

    (1)了解特征值的估計、正交變換的Givens和Householder變換、矩陣的QR法分解；

    (2)理解冪法和反冪法的原理和解決的對象及其加速方法,矩陣的QR法分解的原理和

    變形和同時過程；

    (3)掌握冪法和反冪法和基本的QR法。

    第三部分有關(guān)說明與實施要求

    1、基本要求：掌握統(tǒng)計學基本概念，理解考試范圍內(nèi)的各種常微分方程與數(shù)值分析的基本理論、方法，掌握各種算法及其應用；掌握算法的基本原理和理論基礎(chǔ)。

    2、命題說明：

    (1)分值比例：試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。試卷內(nèi)容包括：數(shù)值分析75分；常微分方程75分。

    (2)題型分布：簡答題，約40%；計算、證明題，約60%。

    3、參考書目:

    (1)東北師范大學微分方程教研室.常微分方程.北京：高等教育出版社，2005.

    (2)李慶楊.數(shù)值分析.北京：清華大學出版社，2008.

    4、其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時間為180分鐘。

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