河南科技大學2021年碩士生招生考試初試

    自命題科目考試大綱

    學院名稱科目代碼科目名稱說明

    數(shù)學與統(tǒng)計學院636數(shù)學分析

    說明欄：各單位自命題考試科目如需帶計算器、繪圖工具等特殊要求的，請在說明欄里加備注。

    河南科技大學碩士研究生招生考試

    《數(shù)學分析》考試大綱

    考試科目代碼：636考試科目名稱：數(shù)學分析

    一、考試基本要求及適用范圍概述

    《數(shù)學分析》考試大綱適用于“基礎數(shù)學”、“計算數(shù)學”、“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”、“應用數(shù)學”、“運籌學與控制論”等專業(yè)的碩士研究生入學考試。本課程考試旨在考查學生對數(shù)學分析的基礎理論和基本知識掌握的程度，以及運用所學理論和知識解決相關問題的能力。

    二、考試形式

    本課程考試形式為閉卷筆試，考試時間180分鐘，總分150分。

    三、考試內(nèi)容

    (一)實數(shù)集與函數(shù)

    1.實數(shù)及其性質、絕對值與不等式2.數(shù)集、確界原理3.函數(shù)的定義、表示法、四則運算、復合函數(shù)4.具有某些特性的函數(shù)

    (二)數(shù)列極限

    1.數(shù)列極限概念2.收斂數(shù)列的性質3.數(shù)列極限存在的條件

    (三)函數(shù)極限

    1.函數(shù)極限概念2.函數(shù)極限的性質3.函數(shù)極限存在的條件4.兩個重要的極限5.無窮小量與無窮大量

    (四)函數(shù)連續(xù)性

    1.連續(xù)性概念2.連續(xù)函數(shù)的性質3.初等函數(shù)的連續(xù)性

    (五)導數(shù)和微分

    1.導數(shù)的概念2.求導法則3.參變量函數(shù)的導數(shù)4.高階導數(shù)5.微分

    (六)微分中值定理及其應用

    1.拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性2.柯西中值定理和不定式極限3.泰勒公式4函數(shù)的極值與最大(小)值5.函數(shù)的凸性與拐點

    (七)實數(shù)完備性

    1.關于實數(shù)集完備性的基本定理2.上極限和下極限

    (八)不定積分

    1.不定積分概念與基本積分公式2.換元積分法與分部積分法3.有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分

    (九)定積分

    1.定積分概念2.牛頓-萊布尼茨公式3.可積條件4.定積分的性質與計算

    (十)定積分的應用

    1.平面圖形的面積2.由平行截面面積求體積3.平面曲線的弧長與曲率

    (十一)反常積分

    1.反常積分概念2.無窮積分的性質與收斂判別3.瑕積分的性質與收斂判別

    (十二)數(shù)項級數(shù)

    1.級數(shù)的收斂性質2.正項級數(shù)及其審斂法3.一般項級數(shù)及其審斂法

    (十三)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

    1.一致收斂性2.一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質

    (十四)冪級數(shù)

    1冪級數(shù)的收斂區(qū)間、性質及運算2.函數(shù)的冪級數(shù)展開

    (十五)傅里葉級數(shù)

    1.以2π為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)2.以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)3.正弦級數(shù)與余弦級數(shù)

    (十六)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1.二元函數(shù)的極限2.二元函數(shù)的連續(xù)性

    (十七)多元函數(shù)微分學

    1.可微性與全微分、偏導數(shù)、可微性條件2.復合函數(shù)微分法3.方向導數(shù)與梯度4.泰勒公式與極值問題

    (十八)隱函數(shù)定理及其應用

    1.隱函數(shù)定理2.隱函數(shù)求導3.幾何應用4.條件極值

    (十九)含參量積分

    1.含參量正常積分2.含參量反常積分3.歐拉積分

    (二十)曲線積分

    1.第1型曲線積分的定義與計算2.第二型曲線積分的定義與計算3.兩類曲線積分的聯(lián)系

    (二一)重積分

    1.二重積分的概念2.直角坐標系下二重積分的計算3.格林公式·曲線積分與路線的無關性4.4二重積分的變量變換3.三重積分

    (二二)曲面積分

    1.第一型曲面積分的慨念與計算2.第二型曲面積分的慨念與計算3.兩類曲面積分的聯(lián)系4.高斯公式與斯托克斯公式

    四、考試要求

    （一）實數(shù)集與函數(shù)

    1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

    2．掌握函數(shù)復合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性。（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）

    3．掌握基本初等不等式及應用。

    （二）數(shù)列極限

    1．熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。

    2．掌握收斂數(shù)列的常用性質。

    3．熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件（單調(diào)有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理等）。

    4．能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。

    （三）函數(shù)極限

    1．深刻領會函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。

    2．熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別。（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調(diào)有界等）

    3．熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數(shù)極限。

    4．理解無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮小求極限；熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。

    （四）函數(shù)連續(xù)性

    1．掌握函數(shù)在某點及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。

    2．熟悉函數(shù)間斷點及類型。

    3．熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質及其應用。

    4．熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應用。

    5．知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

    （五）導數(shù)和微分

    1．掌握導數(shù)的定義、幾何意義，領悟其思想內(nèi)涵；熟悉單邊導數(shù)概念及應用。

    2．掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)。

    3．熟練掌握復合函數(shù)求導的鏈式法則。

    4．掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。

    5．熟練掌握乘積函數(shù)求導的Leibniz公式。

    6．掌握微分的概念，領悟其思想內(nèi)涵；并會用微分進行近似計算。

    7．熟練掌握復合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。

    8．理解連續(xù)、可導、可微之間的關系。

    9．熟練掌握高階導數(shù)的各種求解方法。

    （六）微分中值定理及其應用

    1．熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點的存在性問題。

    2．熟練運用洛必達法則求極限。

    3．熟練掌握單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法。

    4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。

    5．掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數(shù)及性質。

    6．熟練應用函數(shù)單調(diào)性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。

    （七）實數(shù)完備性

    1．了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等概念的含義。

    2．掌握實數(shù)完備性各定理的具體內(nèi)容，領悟其證明的思想內(nèi)涵。

    3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。

    4．理解上極限、下極限的概念和等價敘述。

    （八）不定積分

    1．知道原函數(shù)與不定積分的概念。

    2．熟練掌握換元法、分部積分法。

    3．會計算有理函數(shù)的積分。

    4．會計算三角函數(shù)有理式、某些簡單無理式的積分。

    （九）定積分

    1．深刻領會定積分的定義和性質。

    2．深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

    3．熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。

    4．知道可積條件和可積類。

    （十）定積分的應用

    1．熟練掌握平面圖形面積的計算。

    2．熟練掌握旋轉體或已知截面面積的體積。

    3．會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

    （十一）反常積分

    1．了解反常積分收斂性定義。

    2．熟練掌握反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法），重點在無窮積分。

    （十二）數(shù)項級數(shù)

    1．知道級數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質。

    2．熟練掌握正項級數(shù)收斂的各種判別法。（比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法等）

    3．熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

    4．理解條件收斂、絕對收斂級數(shù)的特殊性質。

    （十三）函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

    1．深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的ε-N定義。

    2．熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

    3．熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質。

    （十四）冪級數(shù)

    1．掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級數(shù)的若干性質。

    2．熟練掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開的方法。

    3．會求冪級數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項級數(shù)的和。

    （十五）傅里葉級數(shù)

    1．熟記以周期的付里葉系數(shù)公式，會求函數(shù)的傅里葉展式。

    2．掌握余弦級數(shù)，正弦級數(shù)的求法。

    3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。

    4．知道Parseval等式并運用其求某些數(shù)項級數(shù)的和。

    （十六）多元函數(shù)的極限與連續(xù)

    1．了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。

    2．掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計算。

    3．掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質。

    （十七）多元函數(shù)微分學

    1．掌握全微分和偏導數(shù)的概念、了解其幾何性質。

    2．會計算偏導數(shù)和全微分，會計算高階偏導數(shù)（尤其是二階偏導數(shù)）。

    3．熟練掌握多元復合函數(shù)求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。

    4．掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)連續(xù)、可微、可偏導之間的多角關系。

    5．知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

    6．熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。

    7．了解方向導數(shù)與梯度及其幾何、物理意義。

    （十八）隱函數(shù)定理及其應用

    1．理解隱函數(shù)（組）定理。

    2．會求隱函數(shù)（組）的微分。

    3．會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

    4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

    （十九）含參量積分

    1．掌握含參量正常積分的定義及性質。

    2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

    3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質（連續(xù)性、可導性、可積性）。

    4．掌握Euler積分并用于計算某些反常積分；掌握用積分號下求導數(shù)等方法計算某些積分和反常積分。

    （二十）曲線積分

    1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

    2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計算公式。

    3．熟練掌握格林公式。

    4．掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分式的原函數(shù)。

    （二一）重積分

    1．知道二重積分、三重積分定義與性質，理解分割、求和、取極限三部曲內(nèi)涵。

    2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。

    3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。

    4．知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

    （二二）曲面積分

    1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉換關系。

    2．掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。

    3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式

    五、主要參考教材（參考書目）

    《數(shù)學分析》（第四版），華東師大數(shù)學系編，高等教育出版社。

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